Kailā statistika ir visinteresantākā grāmata par garlaicīgāko zinātni

2024 Autors: Malcolm Clapton | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 04:04

Kurš teica, ka statistika ir blāva un bezjēdzīga zinātne? Čārlzs Vīlans pārliecinoši apgalvo, ka tas tā nav. Šodien publicējam fragmentu no viņa grāmatas par to, kā, izmantojot statistiku, laimēt automašīnu, nevis kazu un saprast, ka intuīcija var maldināt.

Monty Hall mīkla

Monty Hall Mystery ir slavena varbūtību teorijas problēma, kas samulsināja dalībniekus vairākās valstīs joprojām populārajā spēļu šovā ar nosaukumu Let’s Make a Deal, kura pirmizrāde ASV notika 1963. gadā. (Atceros katru reizi, kad bērnībā skatījos šo raidījumu, kad slimības dēļ negāju uz skolu.) Grāmatas ievadā jau norādīju, ka šis spēļu raidījums var būt interesants statistiķiem. Katra tā numura beigās dalībnieks, kurš iekļuva finālā, stāvēja ar Monty Hall priekšā trīs lielām durvīm: Durvis Nr. 1, Durvis Nr. 2 un Durvis Nr. 3. Monty Hall paskaidroja finālistam, ka aiz vienām. no šīm durvīm bija ļoti vērtīga balva - piemēram, jauna automašīna un kaza aiz pārējām divām. Finālistam bija jāizvēlas viena no durvīm un jāsaņem tas, kas slēpjas aiz tām. (Nezinu, vai starp šova dalībniekiem bija vismaz viens cilvēks, kurš vēlējās iegūt kazu, taču vienkāršības labad pieņemsim, ka lielais vairums dalībnieku sapņoja par jaunu auto.)

Sākotnējo laimesta iespējamību ir diezgan viegli noteikt. Ir trīs durvis, divas slēpj kazu, bet trešā slēpj automašīnu. Kad šova dalībnieks ar Monty Hall nostājas šo durvju priekšā, viņam ir viena no trim iespējām izvēlēties durvis, aiz kurām atrodas automašīna. Taču, kā minēts iepriekš, ir kāds āķis, kas iemūžināja šo TV programmu un tās vadītāju varbūtības teorijas literatūrā. Pēc tam, kad šova finālists norāda uz vienu no trim durvīm, Monty Hall atver vienas no divām atlikušajām durvīm, aiz kurām vienmēr atrodas kaza. Tad Montijs Hols jautā finālistam, vai viņš vēlas mainīt savas domas, proti, atteikties no iepriekš izvēlētajām slēgtajām durvīm par labu citām slēgtām durvīm.

Teiksim, piemēram, dalībnieks norādīja uz durvīm # 1. Tad Monty Hall atvēra durvis # 3, aiz kurām paslēpās kaza. Divas durvis, 1. durvis un 2. durvis, paliek aizvērtas. Ja vērtīgā balva būtu aiz durvīm Nr.1, finālists to būtu ieguvis, un, ja tā būtu aiz durvīm Nr.2, tad būtu zaudējis. Tieši šajā brīdī Montijs Hols jautā spēlētājam, vai viņš vēlas mainīt savu sākotnējo izvēli (šajā gadījumā pamest Door #1 par labu Door #2). Jūs, protams, atcerēsities, ka abas durvis joprojām ir aizvērtas. Vienīgā jaunā informācija, ko dalībnieks saņēma, bija tāda, ka kaza nokļuva aiz kādām no divām durvīm, kuras viņš neizvēlējās.

Vai finālistam būtu jāatsakās no sākotnējās izvēles par labu Door #2?

Es atbildu: jā, vajadzētu. Ja viņš pieturēsies pie sākotnējās izvēles, varbūtība laimēt vērtīgu balvu būs ⅓; ja viņš pārdomās un norādīs uz Durvīm Nr.2, tad varbūtība laimēt vērtīgu balvu būs ⅔. Ja jūs man neticat, lasiet tālāk.

Pieļauju, ka šī atbilde no pirmā acu uzmetiena nebūt nav acīmredzama. Šķiet, lai kuru no atlikušajām divām durvīm finālists izvēlētos, iespēja saņemt vērtīgu balvu abos gadījumos ir ⅓. Ir trīs slēgtas durvis. Sākumā varbūtība, ka aiz kāda no tām slēpjas vērtīga balva, ir ⅓. Vai finālista lēmumam mainīt savu izvēli par labu citām slēgtām durvīm ir kāda nozīme?

Protams, jo galvenais ir tas, ka Monty Hall zina, kas atrodas aiz katrām durvīm. Ja finālists izvēlas 1. durvis un aiz tā patiešām atrodas automašīna, Monty Hall var atvērt vai nu 2. vai 3. durvis, lai atklātu kazu, kas slēpjas aiz tām.

Ja finālists izvēlas 1. durvis un automašīna atrodas aiz 2. durvīm, tad Monty Hall atvērs 3. durvis.

Ja finālists norāda uz 1. durvīm un automašīna atrodas aiz 3. durvīm, tad Monty Hall atvērs 2. durvis.

Mainot savas domas pēc tam, kad vadītājs ir atvēris kādas no durvīm, finālists iegūst priekšrocības, izvēloties divas durvis, nevis vienu. Es mēģināšu jūs pārliecināt par šīs analīzes pareizību trīs dažādos veidos.

Pirmais ir empīrisks. 2008. gadā New York Times apskatnieks Džons Tairnijs rakstīja par Monty Hall fenomenu. Pēc tam izdevuma darbinieki izstrādāja interaktīvu programmu, kas ļauj spēlēt šo spēli un patstāvīgi izlemt, vai mainīt sākotnējo izvēli vai nē. (Programma pat paredz mazas kazas un mašīnītes, kas parādās aiz durvīm.) Programma fiksē Jūsu laimestu gadījumā, ja maināt savu sākotnējo izvēli, kā arī gadījumā, ja neesat pārliecināts. Es samaksāju vienai no savām meitām, lai tā spēlē šo spēli 100 reizes, katru reizi mainot viņas sākotnējo izvēli. Es arī samaksāju viņas brālim, lai viņš spēlētu spēli 100 reizes, katru reizi saglabājot sākotnējo lēmumu. Meita uzvarēja 72 reizes; viņas brālis 33 reizes. Katrs darbs tika atalgots ar diviem dolāriem.

Pierādījumi no spēles Let’s Make a Deal epizodēm liecina par to pašu modeli. Kā stāsta Leonards Mlodinovs, grāmatas The Drunkard's Walk autors, tiem finālistiem, kuri mainīja savu sākotnējo izvēli, bija aptuveni divas reizes lielāka iespēja uzvarēt nekā tiem, kuri nebija pārliecināti.

Mans otrais šīs parādības skaidrojums ir balstīts uz intuīciju. Pieņemsim, ka spēles noteikumi ir nedaudz mainījušies. Piemēram, finālists sāk, izvēloties vienu no trim durvīm: 1. durvis, 2. durvis un 3. durvis, kā sākotnēji plānots. Taču tad, pirms atver kādas durvis, aiz kurām slēpjas kaza, Montijs Hols jautā: "Vai piekrītat atteikties no savas izvēles apmaiņā pret divu atlikušo durvju atvēršanu?" Tātad, ja izvēlējāties 1. durvis, varat mainīt savas domas par labu 2. durvīm un 3. durvīm. Ja vispirms norādījāt uz 3. durvīm, varat atlasīt 1. durvis un 2. durvis. Un tā tālāk.

Tas jums nebūtu īpaši grūts lēmums: ir pilnīgi skaidrs, ka jums vajadzētu atteikties no sākotnējās izvēles par labu divām atlikušajām durvīm, jo tas palielina iespēju laimēt no ⅓ līdz ⅔. Interesantākais ir tas, ka tieši to pēc būtības Monty Hall jums piedāvā īstā spēlē, atverot durvis, aiz kurām slēpjas kaza. Principiāls fakts ir tāds, ka, ja jums tiktu dota iespēja izvēlēties divas durvis, aiz vienām no tām tik un tā paslēptos kaza. Kad Monty Hall atver durvis, aiz kurām atrodas kaza, un tikai pēc tam jautā, vai piekrītat mainīt sākotnējo izvēli, tas ievērojami palielina jūsu izredzes iegūt vērtīgu balvu! Būtībā Monty Hall jums saka: "Iespēja, ka aiz viena no divām durvīm, kuras neizvēlējāties pirmo reizi, paslēpsies vērtīga balva, ir ⅔, kas joprojām ir vairāk nekā ⅓!"

Jūs varat iedomāties to šādi. Pieņemsim, ka jūs norādījāt uz 1. durvīm. Pēc tam Monty Hall dod jums iespēju atteikties no sākotnējā lēmuma par labu durvīm Nr. 2 un durvīm Nr. 3. Jūs piekrītat, un jūsu rīcībā ir divas durvis, kas nozīmē, ka jums ir jebkura iemesla dēļ ceriet laimēt vērtīgu balvu ar varbūtību ⅔, nevis ⅓. Kas būtu noticis, ja šajā brīdī Montija Hola būtu atvērusi 3. durvis - vienas no "tavām" durvīm - un aiz tām būtu kaza? Vai šis fakts satricinātu jūsu pārliecību par savu lēmumu? Protams, nē. Ja automašīna būtu paslēpusies aiz 3. durvīm, Montija Hola atvērtu 2. durvis! Viņš tev neko nerādītu.

Kad spēle tiek spēlēta saskaņā ar izslēgšanas scenāriju, Monty Hall patiešām dod jums iespēju izvēlēties starp durvīm, kuras norādījāt sākumā, un abām atlikušajām durvīm, no kurām viena varētu būt automašīna. Kad Montijs Hols atver durvis, aiz kurām slēpjas kaza, viņš vienkārši izdara jums labu, parādot, kura no pārējām divām durvīm nav mašīna. Abos tālāk norādītajos scenārijos jums ir vienādas iespējas uzvarēt.

1. Izvēloties durvis Nr. 1, pēc tam piekrītot “pārslēgties” uz durvīm Nr. 2 un Durvis Nr. 3 pat pirms jebkuras durvis tiek atvērtas.
2. Izvēloties durvis Nr. 1, pēc tam piekrītot "pārslēgties" uz durvīm Nr. 2 pēc tam, kad Monty Hall parādīs kazu aiz 3. durvīm (vai izvēloties Door Nr. 3 pēc tam, kad Monty Hall parāda kazu aiz 2. durvīm).

Abos gadījumos atteikšanās no sākotnējā lēmuma dod jums priekšrocības, ka ir divas durvis pār vienu, un tādējādi jūs varat dubultot savas izredzes laimēt no ⅓ līdz ⅔.

Mana trešā iespēja ir tās pašas pamatintuīcijas radikālāka versija. Pieņemsim, ka Monty Hall lūdz jums izvēlēties vienu no 100 durvīm (nevis vienu no trim). Kad esat to izdarījis, teiksim, norādot uz durvīm Nr. 47, viņš atver 98 atlikušās durvis, kas atklās kazas. Tagad ir aizvērtas tikai divas durvis: jūsu durvis Nr. 47 un citas, piemēram, durvis Nr. 61. Vai jums vajadzētu atteikties no sākotnējās izvēles?

Protams, jā! Pastāv 99 procentu iespēja, ka automašīna atrodas aiz kādām no durvīm, kuras jūs sākotnēji neizvēlējāties. Monty Hall izrādīja pieklājību, atverot 98 no šīm durvīm, aiz tām nebija nevienas automašīnas. Tādējādi pastāv tikai 1 pret 100 iespēja, ka jūsu sākotnējā izvēle (Durvis Nr. 47) būs pareiza. Tajā pašā laikā pastāv 99 no 100 iespējamība, ka jūsu sākotnējā izvēle bija nepareiza. Ja tā, tad mašīna atrodas aiz atlikušajām durvīm, tas ir, Durvis Nr.61. Ja gribi spēlēt ar varbūtību laimēt 99 reizes no 100, tad vajadzētu "pārslēgties" uz Durvīm Nr.61.

Īsāk sakot, ja jums kādreiz būs jāspēlē Let’s Make a Deal, jums noteikti būs jāatkāpjas no sākotnējā lēmuma, kad Montijs Hols (vai kāds, kurš viņu aizstās) liks jums izvēlēties. Universālāks secinājums no šī piemēra ir tāds, ka jūsu intuitīvie minējumi par noteiktu notikumu iespējamību dažkārt var jūs maldināt.